Rozdział 2 - Teoria domina

Autor: Ian Stewart

Rozdział 2

Teorie
domina

Jeśli wielokrotnie próbowaliście coś zrobić i nigdy się Wam nie udało, to jeszcze nie oznacza,
że to niemożliwe. Wynika stąd
jedynie, że Wy chwilowo
nie potraficie tego zrobić.
Żeby udowodnić, że coś jest
niemożliwe, trzeba wykluczyć wszelkie możliwe rozwiązania.
Dobrym sposobem jest wskazanie przeszkody, której na pewno nie uda się ominąć - tak zwanego
niezmiennika. Czasem niezmiennik można znaleźć, rozpatrując kolory.
No i jeszcze trzeba umieć liczyć.

 

 

Kamieniarz Skałotłuk Skałorębski, przez znajomych zwany piesz-czotliwie Tłuczkiem, oświadczył swojemu czeladnikowi, że interesy idą źle.

- Mów do mnie jeszcze - odparł Mózgowczyk.

- Interesy idą źle, mój Mózgowczyku. - Przewodniczący Gildii Budowniczych Obelisków zwykł wszystko brać dosłownie. - Jeśli wkrótce nie dostaniemy jakiegoś zlecenia, będę musiał zawiesić dłuto na kołku i zająć się pasaniem świń. Wszak to zajęcie od dawna usiłuje zaoferować mi wuj Prosiolbrzym Prosiokłusacki.

Mózgowczyk stuknął bezmyślnie młotem w jedną z figurek dla dzieci.

- To recesja, Tłuczku. Nikt nie kupuje. Wszystkie wskaźniki rynku kamieniarskiego są na dnie. A co do świń i wieprzy - wszyscy teraz poszaleli i nikt nie kupuje mięsa i wędlin. Słyszałem też przedwczoraj, jak Moloch Molosiński się skarżył, że dziesięciny zmalały, a kapłanów nie stać na kupno baranów na ofiarę, żeby zdobyć przychylność bożka śniegu przed nadejściem zimy.

Tłuczek podrapał się w wielki nos i napiął olbrzymie bicepsy.

- Czy przyniosłeś ten egzemplarz Rzeczykamiennej, o który cię prosiłem?

Mózgowczyk upuścił na ziemię wielką płytę z piaskowca. Skałorębski podniósł ją i szybko przejrzał wyryte napisy.

- Może jest coś ciekawego w ogłoszeniach drobnych. Hmmm... asystent tresera traszek... w Moczarowie główny inspektor do spraw robactwa przeszedł na emeryturę... siedem dziewic potrzebnych od zaraz, konieczna dyspozycyjność i gotowość do podróży... O! Zaproszenie do składania ofert na przetarg na naprawę nawierzchni rynku w Bagiennej Górze! Mózgowczyku, wybierz się tam i dowiedz, o co chodzi, a ja się zajmę sprawdzeniem rzemieni na pobijakach.

Mózgowczyk wrócił po dwóch dniach.

- No i co?

- Rynek w Bagiennej Górze jest wyłożony wielkimi płytami z kamienia, Tłuczku. Jest ich 64, każda ma około dziesięciu stóp kwadratowych, ułożone są w duży kwadrat 8 na 8 płyt. Materiał zaczyna właśnie pękać. Chcą, żeby wszystko zedrzeć i ułożyć nowe płyty.

- Wspaniale!

- Poczekaj, są dodatkowe warunki przetargu. Główny jest taki, że nowe płyty mają nie mieć kwadratowego kształtu. Kapłani z miasta sądzą, że kształty płyt były złe i dlatego kamień pęka.

- Bzdura! Typowe gadanie kapłanów. Oni zawsze martwią się o kształty, liczby i inne rozlazłe numerozoficzne śmiecie. Przecież dobrze wiem, co się tam stało. Kredogrzmot Kredosieczyński układał te płyty i użył kamienia niskiej jakości, więc pękają zimą, na mrozie.

- Kapłani mówią, że pękają dlatego, że kwadrat jest symbolem Mrozowida, boga mrozu.

Tłuczek spojrzał na rozmówcę zaskoczony.

- Czyżby? Myślałem, że jest symbolem Zgrzytozęba, ogra z górskich jaskiń.

- Tak, to też - przyznał Mózgowczyk. - Ale wiesz, symboli w ogóle nie ma za dużo. No i kwadrat jest dość popularny. Zgrzytozęb musi się nim dzielić z Mrozowidem; używają go na przemian, co drugi dzień.

- No tak. - Tłuczek zamyślił się na chwilę. - Może i kapłani mają rację.

- To zależy od tego, czy mróz pojawia się we wtorki, czy nie. Ale tak czy siak, nie ma co walczyć z kapłanami. W każdym razie nie wtedy, gdy się chce mieć obie nerki. Kwadraty są niedobre. Chcą mieć kostki domina.

Skałorębski spojrzał na niego tak, jak patrzy się na coś oślizgłego, co wypełzło właśnie spod skały.

- Mózgowczku, cóż to, na Wielką Bagienkę, są kostki domina?

- Dwa kwadraty obok siebie, Tłuczku.

- No to dlaczego od razu tak nie powiedzą? Dlaczego nie mówią po prostu, że chodzi im o bliźdwójniaczki? Skąd taka głupia nazwa: kostki domina?

- Niech mnie diabli, nie wiem - odparł Mózgowczyk i uskoczył przed kopniakiem, który próbował mu wymierzyć mu Tłuczek. Po chwili oczy mu zgasły. - To może być kłopot, Tłuczku. Może kostki domina nie będą pasować.

- Ależ oczywiście będą! Po prostu trzeba dwa stare kwadraty zastępować jedną kostką domina!

Mózgowczyk się skrzywił. - Tak, ale to działa tylko wtedy, gdy liczba kwadratów jest parzysta. Każda kostka domina przykrywa dwa kwadraty. Jak będziesz miał nieparzystą liczbę, to ci jeden kwadrat na końcu zostanie.

Tłuczek westchnął. - Mózgowczyku, mówiłeś przecież, że są równiutko 64 kwadraty, a to jest liczba parzysta!

- Czyżby?

- No tak, jeśli tylko kwadraty układano poziomo, to na pewno cały rynek jest równiutki.

- No dobrze. - Podrapał się z roztargnieniem w nos. - Hm. Pewnie jeszcze powinienem wspomnieć o posągach Goga i Magoga.

Rozzłoszczony Skałorębski skoczył na równe nogi. - Posągach? Jakich posągach?

- Tych, o których zapomniałem ci wspomnieć. Wydaje się, że gdy popękała pierwsza płyta, kapłani chcieli ukryć problem i wystawili na rynku posąg Goga. Niedługo potem pękła inna płyta, więc wystawili podobny posąg Magoga. Każdy z nich ma podstawę tych samych kształtów i rozmiarów, co wszystkie płyty. Oznacza to, że nie mamy już 64 kwadratów, tylko... hm...

- Sześciedziesiąt dwa.

- No tak, właśnie. Hmmm... czy to też jest liczba parzysta?

Tłuczek zaczął liczyć na palcach, ale skończyły się, zanim zdołał sprawdzić to, co chciał. - Powiem ci, Mózgowczyku, że nie mam bladego pojęcia.

- Cóż, powinieneś być tego pewien, zanim wykujemy swoje nazwiska pod jakimkolwiek wiążącym tekstem umowy. Są klauzule karne za niedotrzymanie zobowiązań.

Odczekał 20 minut, aż Tłuczek skończy przeklinać psich synów, którzy w umowach zawieranych przez samorządy umieszczają klauzule karne. Nie był to czas stracony - poznał 73 nowe przekleństwa.

- Dziesięć lat w kopalni siarki, jak nowe płyty nie będą pasować- dodał tytułem wyjaśnienia. Potok przekleństw zaczął się od nowa. W końcu Skałorębskiemu zabrakło oddechu i Mózgowczyk skorzystał z nadarzającej się okazji.

- Tłuczku, sami się z tym nie uporamy. Potrzebujemy eksperta.

- O kogo ci chodzi?

- Zwęszyżyczyna!

- Na zdrowie, niech cię bogowie chronią przed demonami.

- Ja wcale nie kichnąłem, baranie! Zwęszyżyczyna Życzywęszanka! Córka Życzywęcha Misokupca.

- A, twoja przyjaciółka numerozofka. Ta, co żyje na Kocich Mokradłach? - Mózgowczyk skinął głową. - Sprytnie pomyślane, czeladniku.

Oczywiście potrzebujemy eksperta. Na tych sprawach nie znamy się dostatecznie głęboko.

Gdy dotarli na Kocie Mokradła, Zwęszyżyczyna Życzywęszanka obszywała właśnie swoją sukmanę lamówką z krecich ogonów. Tłuczek wyjaśnił jej zagadnienie, ona zaś zaśmiała się sardonicznie.

- Dobrze, że do mnie przyszliście. Ta sprawa ma aspekty niedostępne dla laików, więc moglibyście wpaść w poważne kłopoty. Zacznijmy od tego, że wprawdzie 62 istotnie jest liczbą parzystą... - tu przerwała, żeby odczekać, aż Mózgowczyk i Tłuczek skończą się spierać, który z nich wysunął to przypuszczenie ako pierwszy - ...ale nie wystarczy wcale, żeby liczba kwadratów była parzysta.

- Nie?

- Nie. Chodzi o bardziej subtelne łączenie w pary. To stary numerozoficzny dowcip z brodą. Przypuśćmy na przykład, że usunięto dwa przeciwległe naroża dużego kwadratu (rysunek 2a). Czy pozostałe 62 kwadraty można przykryć za pomocą kostek domina?

- Nie mam pojęcia - powiedział Tłuczek.

- Powinno się udać - powiedział Mózgowczyk. - Jest mnóstwo miejsca, by próbować różnych ułożeń. I nie może się zdarzyć tak, że jeden kwadrat zostanie.

- To prawda, ale może zostaną dwa. - Zwęszyżyczyna pogrzebała w kącie chaty i znalazła planszę z zaznaczoną siecią 64 kwadratów oraz pudełko z drewnianymi prostokątami, z których każdy miał akurat takie rozmiary, żeby przykryć dwa sąsiednie kwadraty. Na dwóch przeciwległych kwadratach położyła po kamyku. - Proszę, spróbuj.

 

Mózgowczyk zaczął się bawić. Skałorębski przysunął się bliżej do Zwęszyżyczyny i zapytał, po co jej plansza i drewniane kostki. - Miałam pomysł na nową zabawkę - odparła. - Plansza jest rzeką, a z drewnianych kostek trzeba zbudować nad nią coś w rodzaju łuku, tak, żeby się nie zawaliło. Chciałam to nazwać "most"1.

- To się nie przyjmie, w każdym razie nie z taką nazwą - powiedział Tłuczek.

Sfrustrowany Mózgowczyk grzmotnął w stół.

- Nie pasują! Próbowałem z tuzin razy i nie pasują!

Zwęszyżyczyna Życzywęszanka uśmiechnęła się.

- Nie pasują i nigdy nie będą, Mózgowczyku. Zwróć, proszę, uwagę na różne kolory kwadratów (rysunek 2b).

- Ładny wzorek.

- Nazywam go szach.

- Dlaczego?

- Bo jak się go rysuje, to nie można szachrować. Ciemne kwadraty zaczerniłam węglem, a białe kolorowałam naparem z maranty, zaparzonym przy świetle księżyca.

- A dlaczego nie kredą?

- Świetny pomysł, Mózgowczyku! Nigdy mi nie przyszło do głowy, że można pisać kredą. Wyobraź sobie, pisać piękną skałą, a nie spalonym patykiem! Ale mniejsza o to; gdy kładziesz kostkę domina na szachownicy, to - jak sam widzisz - zawsze przykrywa ona jeden kwadrat czarny i jeden biały, gdyż żadne dwa czarne kwadraty nie przylegają do siebie. Żadne dwa białe też nie. Powiedz, Mózgowczyku: ile jest białych kwadratów - nie licząc dwóch narożników?

Mózgowczyk policzył w pocie czoła. - Trzydzieści.

- Dobrze. A ile czarnych?

- Hmmm... Trzydzieści dwa.

- Właśnie. Każda kostka domina przykrywa jeden kwadrat czarny i jeden biały, to co najmniej dwa czarne kwadraty nie zostaną przykryte. Miałeś rację, gdy mówiłeś, że nie zdarzy się tak, żeby tylko jeden kwadrat nie został przykryty. Ale to jeszcze nie znaczy, że nie zostaną Ci dwa! To ogólna zasada parzystości domina: całkowita liczba kwadratów musi być parzysta, a w dodatku białych i czarnych musi być tyle samo.

- Olśniewające rozumowanie, Zwęszyżyczyno - oświadczył Skałorębski. - Tyle tylko - dodał - że na rynku w Bagiennej Górze wszystkie kwadraty są tego samego koloru. - Spojrzał na nią miażdżąco. - Typowe sakramenckie teoretyzowanie, żadnego zmysłu praktycznego.

- Ale przecież zawsze możecie wyobrazić sobie, że kwadraty są pokolorowane, i przeprowadzić to samo rozumowanie - odparła Zwęszyżyczyna. Skałorębski zastanawiał się nad tym kilka minut, a potem zaczerwienił się jak burak. Aby ukryć zawstydzenie, wysłał Mózgowczyka do Bagiennej Góry, żeby ten sprawdził, czy posągi Goga i Magoga nie zostały ustawione na kwadratach, które - gdyby wyobrazić sobie, że płyty na rynku pomalowano w czarno-białą szachownicę - miałyby ten sam kolor.

Minęły kolejne dwa dni. Skałorębski spędził je, pomagając Zwęszyżyczynie nagotować zupy z pokrzyw na całą nadchodzącą zimę. A potem wrócił Mózgowczyk.

- Na Goga, co za nudy. Po drodze napisałem wiersz, żeby się jakoś zabawić, Zwęszyżyczyno. Chcesz posłuchać? To o straszliwym stworzeniu z lasu.

- Proszę, mów.

Mózgowczyk odetchnął głęboko i wyprężył kościstą klatkę piersiową. - O króliku, o króliku, w ciemnej kniei mój płomyku, czyjeż oczy albo ręce, wszak dokoła ich bez liku...

- ... zapobiegną mojej męce, piekąc ciebie na patyku - dokończył Tłuczek. - Nie trać czasu, Mózgowczyku. Mów, jak rozmieszczono posągi.

- Nie wszystko stracone, Tłuczku! Jeden stoi na białym kwadracie, a drugi na czarnym!

- Który?

- Co który?

- Czy Gog stoi na czarnym, czy na białym?

- Kurczę, to nieistotne, Tłuczku.

- Nie, to może być ważne, Mózgowczyku. Kapłani Goga noszą czarne płaszcze, a Magoga noszą...

- Ależ Tłuczku, to i tak były tylko wyobrażone kolory, mogłem przecież zamienić je w myślach rolami.

Tłuczek potrząsnął głową. - To nie takie proste, Mózgowczyku. Właśnie sobie przypomniałem, że kapłani Magoga noszą czarne kapelusze, a kapłani Goga...

- Na moje bagno! Kogóż to obchodzi? - zawołała Zwęszyżyczyna. Chwyciła Mózgowczyka za ramię i zapytała: - Nie przypominasz sobie czasem, gdzie dokładnie stały posągi?

- Nie.

- Do licha.

- Czy to ma znaczenie? - zapytał Tłuczek.

- Nie jestem pewna. Może ma. Może poślijmy Mózgowczyka z powrotem do... nie, znowu minie kilka dni.

- Dwa dni - powiedział Mózgowczyk. - A ja mam po dziurki w nosie wędrówek na rynek w Bagiennej Górze.

Zwęszyżyczyna wyglądała na zamyśloną. - Wiecie, może to nie ma znaczenia - powiedziała. - Ale trzeba byłoby wypróbować mnóstwo możliwości, żeby mieć pewność. Myślę, że przyszła pora, żeby skonsultować to z moim ojcem.

- Jej ojciec jest traumaturgiem - przypomniał Tłuczkowi Mózgowczyk. - Porozumiewa się z duchami i takie tam.

Tłuczek skrzywił się sceptycznie, może dlatego, że uciekanie się do traumaturgii zawsze pustoszyło mu sakiewkę. Zwęszyżyczyna podreptała jednak przez bagna i wkrótce wróciła, prowadząc ojca, Życzywęcha Misokupca. Ten zaś, należycie opłacony srebrem Skałorębskiego, wydobył zza pazuchy karty do tarota i zaczął wróżyć.

- U dołu ... Księżyc. U góry ... Skacząca Krowa. Na zachodzie i wschodzie...

- Kot i Nieuczciwość - podpowiedział Tłuczek.

- Tak, ale Kot jest odwrócony, a to oznacza pijaństwo ... Poniżej, Roześmiany Pies...

- ...co oznacza, że cały ten przetarg jest farsą!

- Oznacza wesołość. Kolejne karty... Misa, Łyżka...

- A do tego Nóż i Widelec.

- Nie... Para Widelców ... to znaczy Wideł. - Starzec potrząsnął głową. - To dziwne, Wideł nie ma przecież w talii. Ach! Nazwisko... Zjawa z przyszłości... Akolita "Wielkiego Błękitu", cokolwiek ta mistyczna nazwa oznacza... Ralph... Ralph...

- To ten pies. One tak zawsze, Ralph! Ralph! Ale to się przecież nazywa szczekanie, a nie śmiech.

- Nie, to imię. Ralph... ee... Grimoire?

Grimory? Nie! Ralph Gomory, przyszły wielce pomysłowy numerozof...2. Trójzębne widły i czterozębne widły, znak niezwykłej siły i piękna. Szybko, węgiel!

I starzec szybko nakreślił na planszy kilka linii (rysunek 3). Potem wyszedł z transu.

Skałorębski z kwaśną miną wręczył mu kolejną sztukę srebra.

- Twój tatko nie dotarł dziś chyba na szczyt Łysej Góry, Zwęszyżyczyno.

Zwęszyżyczyna fuknęła jak kocica i wpatrzyła się w nakreślone węglem linie.

- Nie byłabym taka pewna, Skałotłuku Skałorębski. Wyobraź sobie, że linie w kształcie wideł to ściany. Można między nimi umieścić wygiętą linię z kostek domina, zamkniętą jak pętla. Jeśli dwa kwadraty są zajęte przez posągi, to pętla rozpada się na dwie części. Albo na jedną część, jeśli to dwa sąsiednie kwadraty. Jeśli posągi stoją na kwadratach różnego koloru, to każda z części składa się z parzystej liczby kwadratów, można ją więc przykryć łańcuchem kostek domina. Ten diagram przedstawia dowód, że niezależnie od tego, które kwadraty są zajęte przez posągi - byle tylko były to kwadraty różnych kolorów - resztę kwadratów można przykryć kostkami domina. Jest to w istocie dowód konstruktywny, który w każdym konkretnym przypadku pozwala wskazać sposób ułożenia kostek domina.

Tłuczek był pod wrażeniem. - Zwęszyżyczyno, przepraszam twego ojca za mój sceptycyzm. Odkrył zadziwiającą prawdę.

Starzec wymamrotał coś o pięknych słówkach, maśle i pasternaku, więc Tłuczek szybko wręczył mu kolejną sztukę srebra, próbując zatrzeć swoje zakłopotanie.

- Mózgowczyku, podaj moje dłuto wieczne i najpiękniejszą płytę, którą da się unieść. Zatytułujemy ten dokument Oferta renowacji rynku w Bagiennej Górze, Renowacje Skalne Skałotłuk Skałorębski, Mroczne Bajora.

- Dobrze - powiedział Mózgowczyk. - A, jeszcze jedno. Czy wspomniałem ci już o dwóch nowych posągach?

Tłuczek zamarł. - Dwa... nowe...

- Demagog i Obibok. Kapłani postanowili przykryć kolejne pęknięcia.

- Niech nas Gog ma w swojej opiece - powiedział Tłuczek.

- Stoją na kwadratach różnych kolorów. Dwa posągi na czarnych i dwa na białych - podpowiedział Mózgowczyk pomocnie.

- I nie pamiętasz przypadkiem, gdzie dokładnie - nie, oczywiście nie. Zwęszyżyczyno, czy znak wideł Gomory'ego działa również wtedy, gdy brak czterech kwadratów, dwóch czarnych i dwóch białych?

Zwęszyżyczyna zmarszczyła brwi. - Działa, o ile brakujące kolory ułożone są w naszej pętli kolorami na przemian. Ale jeśli po czarnym następuje czarny, to jest między nimi nieparzysta liczba kwadratów i cały dowód się załamuje.

- A czy to się może zdarzyć?

- Nie widzę powodu, żeby nie mogło. Wszystko to razem jest dość pogmatwane.

- Masz rację. - Na dłuższą chwilę zapadła cisza. Tłuczek miał właśnie coś powiedzieć, ale mu przerwano.

- Zaraz, chyba mam pomysł... Tak, to oczywiste. Trzeba podzielić planszę na dwie części, w taki sposób, żeby każda z nich zawierała tylko jeden brakujący kwadrat w każdym z kolorów. Należy to zrobić tak, żeby każdą część można było naznaczyć, to znaczy przykryć zamkniętą pętlą kostek domina, podobną do znaku Gomory'ego. To samo rozumowanie pokazuje, że kostkami można wtedy przykryć każdą z dwóch części.

- Ale czy można wskazać takie naznaczone części?

Zwęszyżyczyna zastanowiła się przez chwilę. - Wiele. Oto kilka z nich.

- Hmmm... Nie miałam czasu, żeby przemyśleć wszystkie szczegóły, ale jestem prawie pewna, że można udowodnić, iż jedyne przypadki, w których planszy nie da się podzielić na dwie takie części, polegają na tym, że oba usunięte kwadraty czarne, albo oba usunięte białe, są w tym samym narożniku (rysunek 6). W jednym z takich przypadków narożny kwadrat jest odizolowany od całej reszty i nie można znaleźć rozwiązania. W drugim przypadku ... planszę można jednak podzielić na dwie części, z których każda zawiera po jednym usuniętym kwadracie każdego koloru i każda ma swój znak Gomory'ego (rysunek 7). Jedna z tych części ma wprawdzie dziurę w środku, ale to nie zmienia rozumowania. Wierzę, że szczegółowa analiza pozwala udowodnić, że planszę można przykryć kostkami domina zawsze, z wyjątkiem sytuacji, gdy brakujące pola jednego z kolorów blokują narożnik jak na rysunku 6. - Wzruszyła ramionami. - Niemniej, to nie jest tak elegancki dowód, jak rozumowanie Gomory'ego. Może kiedyś jakiś numerozof wymyśli coś lepszego.

- Tak czy siak - powiedział Tłuczek - wygląda na to, że prawdopodobnie możemy ubić interes. - Wstając, rzekł: - Trzeba nam tylko kogoś, kto pójdzie sprawdzić, czy posągi nie blokują któregoś narożnika.

Dla pewności, Mózgowczyku, zrób tym razem planik rozmieszczenia posągów, żebyśmy dobrze wiedzieli, do czego się zabieramy. Będziemy wtedy mogli użyć drewnianych kostek Zwęszyżyczyny i znaleźć rozwiązanie, zanim przystąpimy do przetargu i złożymy naszą ofertę.

Mózgowczyk jęknął. - Kurczę, dlaczego ja? Byłem tam już dwa razy, a to dwa dni marszu.

- Mózgowczyku, ty jesteś czeladnikiem, a ja przewodniczącym Gildii Budowniczych Obelisków.

- No dobrze. Będę się zbierał. - Pożyczył kilka kawałków kandyzowanej koźliny, żeby mieć prowiant na drogę, i ruszył do drzwi.

- Mózgowczyku, jeszcze jedno!

- Tak, Tłuczku?

- Byłoby dobrze, gdybyś wrócił, zanim kapłani zdecydują się postawić nowe posągi.



Przypis ze str.29

1 Nieprzekładalna gra słów, w dodatku z drugim dnem. W oryginale "bridge", czyli most, ale także "brydż", patrz komentarz Skałorębskiego. A poza tym, układając kostki domina jedna na drugiej, można, gdy ma się tych kostek dostatecznie duży zasób, zbudować most nad dowolnie szeroką przeszkodą. Każde przęsło takiego mostu trzeba budować od góry, podsuwając od dołu kolejne kostki pod gotowe już elementy. Najwyższa kostka może wystawać o połowę długości nad poprzednią, druga od góry - o jedną czwartą nad poprzednią, trzecia od góry - o jedną szóstą itd. Ponieważ zaś suma odwrotności wszystkich liczb parzystych jest nieskończona, przęsło "mostu" może sięgać dowolnie daleko; patrz artykuł Piotra Rybki Mosty z klocków, "Delta" 9/1997 (przyp. tłum.).

Przypis ze str. 32

 

2 Ralph E. Gomory uzyskał doktorat z matematyki w 1954 roku w Princeton. W roku 1959 związał się z działem badań naukowych firmy IBM, którą Amerykanie zwą potocznie Big Blue (przyp. tłum.).

Histerie Matematyczne - gry i zabawy z matematyką

Autor: Ian Stewart
Wydawnictwo: Prószyński i S-ka
Miejsce wydania: Warszawa
Wydanie polskie: 1/2007
Format: 145x225 mm
Oprawa: miękka
ISBN-13: 978-83-7469-459-9
Wydanie: I
Cena z okładki: 29,90 zł


blog comments powered by Disqus